Weitz / HAW Hamburg

A Demonstration of the Hobby Algorithm
Interpolation durch natürliche kubische Splines
Der Hobby-Algorithmus für “schöne” Kurven

Mathematik (SoSe 2014 und WiSe 2014/2015)

  • Wozu braucht man eigentlich die Mathematik?
  • Organisatorisches (zur Mathe-Vorlesung, SoSe 2014)
  • Die natürlichen Zahlen
  • Die zwei Grundrechenarten
  • Distributivität
  • Buchstaben (Fachsprache der Mathematik)
  • Die Zahl Null
  • Gleichheit
  • Die ganzen Zahlen
  • Subtraktion
  • Multiplikation von ganzen Zahlen
  • Die Anordnung der reellen Zahlen
  • Die rationalen Zahlen
  • Division
  • Die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden
  • Potenzen und Logarithmen
  • Dezimalbrüche
  • Irrationale Zahlen: “Zahlen”, die keine Brüche sind
  • Die Quadratwurzel aus zwei ist keine rationale Zahl
  • Die reellen Zahlen
  • Approximation bestimmter reeller Größen / babylonisches Wurzelziehen
  • Rechnen mit reellen Zahlen
  • Wurzeln und rationale Exponenten
  • Irrationale Exponenten
  • Beliebige Logarithmen
  • Ist Pi normal?
  • Intuitionismus
  • Der Begriff der Menge
  • Gleichheit von Mengen
  • Teilmengen
  • Vereinigung und Durchschnitt von Mengen
  • Mengentheoretische Differenz
  • Die Potenzmenge
  • Mächtigkeit der Potenzmenge
  • Erste Einführung in das Computeralgebrasystem Maple
  • Mengenlehre in Maple
  • Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen
  • Beschreibende Mengenschreibweise
  • Anwendung der beschreibenden Mengenschreibweise auf die Mengenoperatoren
  • Eine Variation der beschreibenden Mengenschreibweise
  • Weitere Varianten der beschreibenden Mengenschreibweise
  • Etwas Aussagenlogik
  • Implikationen (Logik) und das Quiz mit den Spielkarten
  • Umkehrung von Implikationen (Kontraposition)
  • Etwas Prädikatenlogik (Teil 1 von 2)
  • Etwas Prädikatenlogik (Teil 2 von 2)
  • Intervalle (Teil 1 von 3)
  • Intervalle (Teil 2 von 3)
  • Intervalle (Teil 3 von 3)
  • Betrag und Gaußklammern
  • Relationen, Motivation
  • Geordnete Paare und kartesisches Produkt (Mengenprodukt)
  • Kartesisches Produkt (Mengenprodukt) in Maple
  • Tupel, kartesische Produkte von mehr als zwei Mengen
  • Relationen, Definition
  • Relationen, Beispiele
  • Reflexivität von Relationen
  • Reflexivität von Relationen, Beispiele
  • Die Umkehrrelation
  • Symmetrie von Relationen
  • Komposition von Relationen (Teil 1 von 2)
  • Komposition von Relationen (Teil 2 von 2)
  • Transitivität von Relationen
  • Äquivalenzrelationen (Teil 1 von 2)
  • Beispiele für reflexiv, symmetrisch, transitiv (Teil 1 von 2)
  • Beispiele für reflexiv, symmetrisch, transitiv (Teil 2 von 2)
  • Äquivalenzrelationen (Teil 2 von 2)
  • Äquivalenzklassen und Faktormengen bzw. Quotientenmengen
  • Äquivalenzklassen und Faktormengen bzw. Quotientenmengen, Beispiele
  • Eine wichtige Äquivalenzrelation
  • Noch ein Beispiel
  • Relationen in Maple
  • Funktionen
  • Definitionsbereich
  • Zielbereich einer Funktion und Funktionsschreibweise
  • Injektivität / injektive Funktionen
  • Wertebereich und Surjektivität
  • Bijektionen zwischen endlichen Mengen
  • Komposition von Funktionen (Teil 1 von 2)
  • Komposition von Funktionen (Teil 2 von 2)
  • Komposition von Funktionen in Maple
  • Umkehrfunktion
  • Bild und Urbild
  • Größenvergleich von unendlichen Mengen
  • Hilberts Hotel (unendliche Mengen)
  • Größenvergleich von Intervallen
  • Cantors erstes Diagonalargument – die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar
  • Cantors zweites Diagonalargument – die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar
  • Der Satz von Cantor
  • Das Summenzeichen
  • Das Summenzeichen – Rechentechniken
  • Das Produktzeichen
  • Die Gaußsche Summenformel
  • Die geometrische Summenformel
  • Die Fakultät
  • Endliche Summen in Maple
  • Das Inklusions-Exklusions-Prinzip
  • Die Produktregel
  • Permutationen (Kombinatorik)
  • Kombinationen und Binomialkoeffizienten (Kombinatorik)
  • Kombinationen mit Wiederholungen (Kombinatorik)
  • Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck
  • Variationen (Kombinatorik)
  • Berühmte Probleme der Zahlentheorie
  • Division mit Rest
  • Teilbarkeit
  • Rechenregeln zur Teilbarkeit
  • Kommensurabilität – der euklidische Algorithmus grafisch
  • Der euklidische Algorithmus
  • Der erweiterte euklidische Algorithmus
  • Warum Hippasos ertränkt wurde (irrationale Zahlen / goldener Schnitt)
  • Primzahlen
  • Der Fundamentalsatz der Arithmetik
  • Primzahlen in Maple
  • Der Satz von Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen
  • Das Sieb des Eratosthenes und die Ulam-Spirale
  • Modulare Arithmetik
  • Kongruenzklassen (modulare Arithmetik)
  • Rechnen mit Kongruenzklassen (modulare Arithmetik)
  • Rechnen mit Kongruenzklassen (modulare Arithmetik) – Beispiel
  • ‘Probleme’ beim Rechnen in Restklassenringen (Teil 1 von 2)
  • ‘Probleme’ beim Rechnen in Restklassenringen (Teil 2 von 2)
  • Zwei Anwendungen der modularen Arithmetik: Kartentrick und Quersumme
  • Dividieren in Restklassenringen (Teil 1 von 2)
  • Dividieren in Restklassenringen (Teil 2 von 2)
  • Modulare Arithmetik in Maple
  • Anwendung: Prüfziffern in 10-stelligen ISBN
  • Der kleine Satz von Fermat
  • Anwendung – Fermatscher Primzahlentest
  • Motivation binäre Exponentiation (Square-and-Multiply)
  • Binäre Exponentiation (Square-and-Multiply)
  • Anwendung – Primzahltests (Miller-Rabin-Test)
  • Anwendung – Kryptographie
  • Anwendung – der RSA-Algorithmus (Teil 1 von 2)
  • Anwendung – der RSA-Algorithmus (Teil 2 von 2)
  • Der chinesische Restsatz
  • Chinesischer Restsatz – Aufgabe und Tipps
  • Beispiele für Gruppen (Teil 1 von 3)
  • Beispiele für Gruppen (Teil 2 von 3)
  • Beispiele für Gruppen (Teil 3 von 3)
  • Definition des Begriffs Gruppe
  • Gruppen – weitere Beispiele
  • Einfache Eigenschaften von Gruppen
  • Untergruppen
  • Isomorphie von Gruppen
  • Permutationsgruppen
  • Beispiele für Permutationsgruppen
  • Zyklen (Permutationen)
  • Verschiedene Darstellungsweisen für Permutationen
  • Zerlegung in Zyklen – Beispiel
  • Permutationen in Maple
  • Transpositionen
  • Fehlstände
  • Amida-kuji
  • Der Satz von Cayley (Gruppentheorie)
  • Komplexe Zahlen – Motivation
  • Komplexe Zahlen – Definition
  • ‘Wurzeln’ aus negativen Zahlen
  • Komplexe Zahlen – Grundbegriffe
  • Eigenschaften der komplexen Konjugation
  • Division komplexer Zahlen
  • Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen
  • Wiederholung Trigonometrie (Teil 1 von 2)
  • Wiederholung Trigonometrie (Teil 2 von 2)
  • Polarkoordinaten
  • Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten
  • Polardarstellung komplexer Zahlen
  • ‘Wurzeln’ von echt komplexen Zahlen
  • Warum Minus mal Minus Plus sein muss
  • Quadratische, kubische und quartische Gleichungen
  • Lösen von quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung
  • Wo sind denn die komplexen Nullstellen?
  • Komplexe Zahlen in Maple
  • Die Mandelbrotmenge
  • Polynome – Grundbegriffe
  • Addieren und Multiplizieren von Polynomen
  • Entwicklung von Polynomen
  • Polynominterpolation (Lagrange-Interpolation)
  • Runges Phänomen
  • Bézierkurven
  • Warum überhaupt Nullstellen?
  • Polynomdivision
  • Das Lemma von Gauß / Satz über rationale Nullstellen (Klausurversion)
  • Das Horner-Schema
  • Lösen von Polynomgleichungen
  • Fundamentalsatz der Algebra und Nichtauflösbarkeit von Gleichungen höheren Grades
  • Was ist ein Körper?
  • Polynome über beliebigen Körpern
  • Polynome über Restklassenkörpern und Restklassenringen
  • Polynome über Restklassenkörpern in Maple
  • Polynome über dem kleinsten Restklassenkörper
  • Anwendung – Zyklische Redundanzprüfung (CRC), Teil 1 von 4
  • Anwendung – Zyklische Redundanzprüfung (CRC), Teil 2 von 4
  • Anwendung – Zyklische Redundanzprüfung (CRC), Teil 3 von 4
  • Anwendung – Zyklische Redundanzprüfung (CRC), Teil 4 von 4
  • Die Grundidee der analytischen Geometrie
  • Vektoraddition und skalare Multiplikation
  • Geraden
  • Der Winkel zwischen zwei Vektoren
  • Die Hessesche Normalenform
  • Die Länge der orthogonalen Projektion
  • Abbildungen der Ebene auf sich selbst
  • Lineare Abbildungen
  • Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
  • Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen, Beispiele
  • Multiplikation von Matrizen
  • Rechnen mit Matrizen (Teil 1 von 2)
  • Rechnen mit Matrizen (Teil 2 von 2)
  • Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen
  • Vektoren und Matrizen in Maple
  • Anwendung: YCbCr-Farbmodell
  • Lineare Gleichungssysteme
  • Lineare Gleichungssysteme und lineare Abbildungen
  • Der Gauß-Algorithmus – elementare Zeilenumformungen
  • Der Gauß-Algorithmus – Beispiele
  • Der Gauß-Algorithmus in Maple
  • Der Gauß-Algorithmus – ein paar Hinweise
  • Invertieren einer Matrix
  • Determinanten – Motivation
  • Das Laplace-Verfahren zum Berechnen von Determinanten
  • Eigenschaften von Determinanten
  • Berechnung von Determinanten mit dem Gauß-Verfahren
  • Geometrische Interpretation der Determinante
  • Lineare Algebra über beliebigen Körpern
  • Modulare lineare Algebra in Maple
  • Anwendung – das Parity-Bit im ASCII-Code
  • Anwendung – Hamming-Codes
  • Was sind Isometrien?
  • Orthogonale Abbildungen
  • Orthogonale Abbildungen in der Ebene
  • Zerlegung von Isometrien
  • Anwendung – homogene Koordinaten
  • Cataglyphis
  • Babylonisches Wurzelziehen
  • Was bedeutet “fast alle”?
  • Konvergenz von Folgen
  • Grenzwerte
  • Wichtige Folgen
  • Folgen in Maple
  • Das Vergleichskriterium für Folgen
  • Rechenregeln für Folgen
  • Grenzwerte von rationalen Folgen
  • Noch mehr Folgengrenzwerte
  • Landau-Notation – Motivation
  • Landau-Notation – Definition
  • Landau-Notation – Rechenregeln
  • Landau-Notation – Beispiele (Teil 1 von 2)
  • Landau-Notation – Beispiele (Teil 2 von 2)
  • Landau-Notation – Motivation, noch mal
  • Der Karazuba-Algorithmus
  • Reihen – Motivation
  • Reihen – Definitionen und Grundbegriffe
  • Die harmonische Reihe konvergiert nicht
  • Die geometrische Reihe konvergiert
  • Die Exponentialreihe
  • Das Nullfolgenkriterium
  • Rechenregeln für Reihen
  • Absolute Konvergenz
  • Wurzelkriterium und Quotientenkriterium
  • Wurzelkriterium und Quotientenkriterium, Beispiele
  • Die Exponentialreihe, noch mal

Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker

  • Python: Variablen
  • Python: bedingte Anweisungen
  • Python: Schleifen (Iteration)
  • Python: Funktionen
  • Natürliche und ganze Zahlen
  • Die Fakultät in Python und in C
  • Stellenwertsysteme – Dezimal- und Binärdarstellung
  • Rechnen im Binärsystem
  • “Russische Bauernmultiplikation”
  • Binärdarstellung in Python
  • Listen in Python
  • Konvertierung von binär nach dezimal in Python
  • Rechnen mit einer festen Anzahl von Stellen
  • Multiplikation und Division als Verschiebung
  • Kongruenz bzgl. eines Moduls
  • Kongruenz bzgl. eines Moduls in Python
  • Modulo – Schreibweise
  • Modulare Arithmetik
  • Restklassenringe
  • Anwendung – Teilbarkeit durch neun und drei (Quersumme)
  • Anwendung – Probe bei der Multiplikation
  • Langzahlarithmetik (engl. bignum bzw. arbitrary-precision arithmetic)
  • Negative Zahlen, Subtraktion, inverse Elemente
  • Teilbarkeit und negative Zahlen
  • Modulare Arithmetik mit negativen Zahlen
  • Zweierkomplement
  • Der euklidische Algorithmus
  • Der euklidische Algorithmus in Python
  • Der euklidische Algorithmus geometrisch
  • Der erweiterte euklidische Algorithmus
  • Python – Iterieren durch Listen und Destrukturieren
  • Bibliotheken (Module) in Python
  • Ein Restklassenring, in dem man nicht dividieren kann
  • Ein Restklassenring, in dem man dividieren kann (ein endlicher Körper)
  • Dividieren in endlichen Körpern
  • Anwendung: Prüfziffern in 10-stelligen ISBN
  • ISBN in Python
  • Der chinesische Restsatz
  • Der chinesische Restsatz in Python
  • Primzahlen
  • Ein naiver Primzahltest in Python
  • Warum der naive Primzahltest nicht gut genug ist
  • Der Fundamentalsatz der Arithmetik
  • Das Sieb des Eratosthenes
  • Das Sieb des Eratosthenes in Python
  • Der Satz von Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen
  • Der Primzahlsatz
  • Die Ulam-Spirale
  • Primzahlzwillinge
  • Der kleine Satz von Fermat
  • Fermatsche Primzahltests
  • Carmichael-Zahlen
  • Der Miller-Rabin-Test
  • Der Miller-Rabin-Test in Python
  • Das RSA-Kryptosystem
  • Seltsame Computer-Arithmetik
  • Natürliche, ganze und rationale Zahlen
  • Brüche in Python
  • Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen
  • Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche
  • Die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden
  • Festkommadarstellung
  • Festkommadarstellung in Python
  • Fließkommadarstellung
  • Fließkommadarstellung in Python
  • Verteilung der Fließkommazahlen
  • Fließkommaarithmetik, typische Probleme
  • Binärzahlen mit Nachkommastellen
  • Umrechnung dezimal in binär mit Nachkommastellen
  • Umrechnung dezimal in binär mit Nachkommastellen in Python
  • Indizes für Listen in Python
  • Umrechnung dezimal in binär mit Nachkommastellen und Perioden in Python
  • Das Format IEEE 754 (Teil 1 von 4)
  • Das Format IEEE 754 (Teil 2 von 4, Beispiele)
  • Das Format IEEE 754 (Teil 3 von 4, dezimale Ausgabe)
  • Typische Fehler beim Umgang mit Fließkommazahlen
  • Das Format IEEE 754 (Teil 4 von 4, spezielle Werte)
  • Mathematisches Runden (Wissenschaftliches Runden)
  • Irrationale Zahlen, z.B. die Wurzel aus zwei
  • Der goldene Schnitt ist irrational
  • Babylonisches Wurzelziehen / Verfahren von Heron
  • Der Begriff der Menge
  • Mengen, Elemente und Teilmengen in Python
  • Verknüpfungen von Mengen
  • Arbeiten mit Mengen in Python
  • “Große” Mengen
  • Beschreibende Mengenschreibweise (Teil 1 von 3)
  • Beschreibende Mengenschreibweise (Teil 2 von 3)
  • Beschreibende Mengenschreibweise (Teil 3 von 3)
  • Dedekindsche Schnitte: Wie man die reellen Zahlen konstruiert
  • Gefrorene Mengen und Tupel (frozen sets in Python)
  • Das Mengenprodukt (kartesisches Produkt), Teil 1 von 2
  • Das Mengenprodukt (kartesisches Produkt), Teil 2 von 2
  • Das Inklusions-Exklusions-Prinzip
  • Endliche Summen
  • Die Gaußsche Summenformel
  • Manipulation von endlichen Summen
  • Indexverschiebung
  • Die geometrische Summenformel
  • Endliche Produkte
  • Permutationen (Kombinatorik)
  • Permutationen in Python / Rekursion
  • Permutationen mit Wiederholungen (Kombinatorik)
  • Variationen (Kombinatorik)
  • Variationen mit Wiederholungen (Kombinatorik)
  • Kombinationen (Kombinatorik)
  • Binomialkoeffizienten
  • Das Pascalsche Dreieck
  • Der binomische Lehrsatz / die binomische Formel
  • Die Potenzmenge und ihre Mächtigkeit
  • Darstellung von Mengen als Binärzahlen
  • Kombinationen mit Wiederholungen (Teil 1 von 2)
  • Kombinationen mit Wiederholungen (Teil 2 von 2)
  • Gaußsche Summenformel, kombinatorischer Beweis
  • Kombinationen mit Wiederholungen in Python
  • Noch ein kombinatorisches Beispiel
  • Aufteilung eines Kreises in Gebiete
  • Generatoren in Python (für unendliche Mengen)
  • Rekursiv aufzählbare Mengen
  • Rekursiv aufzählbare Mengen, weitere Beispiele
  • Cantors erstes Diagonalargument – die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar
  • Cantors Aufzählung der rationalen Zahlen in Python
  • Der Calkin-Wilf-Baum (als Aufzählung der rationalen Zahlen)
  • Was sind Intervalle?
  • Anonyme Funktionen (Lambda-Funktionen) in Python
  • Die Menge der berechenbaren Zahlen ist nicht rekursiv aufzählbar
  • Was sind Funktionen?
  • Funktionen als Mengen von Paaren in Python
  • Was sind injektive Funktionen? (Injektivität)
  • Abbildungsvorschrift der Umkehrfunktion
  • Was sind surjektive und bijektive Funktionen? (Surjektivität und Bijektivität)
  • Komposition von Funktionen / Verknüpfung von Funktionen
  • Mehrstellige Funktionen
  • Abzählbare Mengen
  • Überabzählbare Mengen
  • Was sind Folgen?
  • Konvergente Folgen
  • Grenzwerte
  • Einige wichtige Folgen (Teil 1 von 2)
  • Einige wichtige Folgen (Teil 2 von 2)
  • Rechenregeln für Folgengrenzwerte
  • Rechenregeln für Folgengrenzwerte, Beispiele
  • Grenzwerte von Quotienten von Polynomen
  • Bestimmte Divergenz
  • Ein numerisches Beispiel in Python (Folgenkonvergenz)
  • Die Bernoullische Ungleichung
  • Das Majorantenkriterium
  • Warum die geometrische Folge eine Nullfolge ist
  • Warum die n-te Wurzel gegen eins konvergiert
  • Folgen mit Polynomen und Exponentialfunktionen
  • Die Exponentialfolge
  • Computeralgebra
  • SymPy – ein Computeralgebrasystem für Python
  • Folgen in SymPy (Python)
  • Summen in SymPy (Python)
  • Vergleich zweier Algorithmen zur Berechnung von Polynomwerten (Zeitkomplexität)
  • Vergleich zweier Algorithmen zur Berechnung der arithmetischen Summe (Zeitkomplexität)
  • Vergleich zweier Algorithmen zur Berechnung der geometrischen Summe (Zeitkomplexität)
  • Ein vereinfachtes Rechnermodell
  • Anwendung des Rechnermodells
  • Korrektur
  • Beschränkte Mengen bzw. Folgen
  • Die Groß-O-Notation (Zeitkomplexität)
  • Der Landau-Kalkül
  • Typische Beispiele für Laufzeitverhalten
  • Anwendung des Landau-Kalküls
  • Überblick Elementargeometrie: Winkel, Satz des Pythagoras, Sinus, Kosinus, etc.
  • Die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens)
  • Analytische Geometrie
  • Abstand zweier Punkte
  • Polarkoordinaten
  • atan2 – der “bessere Arkustangens”
  • Kugel- und Zylinderkoordinaten
  • Darstellung eines Kreises als Menge von Punkten / Parameterdarstellung
  • Vektoren als geometrische Objekte
  • Vektoren im Koordinatensystem
  • Vektoroperationen in Python
  • Distributivität von Vektoraddition und Skalarmultiplikation
  • Punkte versus Vektoren
  • Die Punkt-Richtungs-Form von Geraden
  • Schnitt zweier Geraden
  • Punkt-Richtungs-Formen im Raum
  • Matrizen
  • Matrizen in Python
  • Multiplikation von Matrizen
  • Multiplikation von Matrizen mit Vektoren
  • Transponieren von Matrizen
  • Matrizen und Vektoren in SymPy (Python)
  • Lineare Gleichungssysteme
  • Das Gauß-Verfahren – elementare Zeilenumformungen
  • Das Gauß-Verfahren – Zeilenstufenform
  • Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen
  • Das Gauß-Verfahren in Python
  • Das Gauß-Jordan-Verfahren
  • Elementare Zeilenumformungen als Matrixmultiplikationen
  • Lineare Gleichungssysteme in SymPy (Python)
  • Simple Computergrafik mit Brython
  • Zeichnen eines Kreises
  • Lineare Abbildungen als Werkzeuge zum Wechsel zwischen Koordinatensystemen
  • Lineare Abbildungen als Werkzeuge zum Wechsel zwischen Koordinatensystemen in Brython
  • Lineare Abbildungen als durch Matrizen definierte Funktionen
  • Geometrische Eigenschaften von linearen Abbildungen
  • Geometrische Eigenschaften von linearen Abbildungen in Brython
  • Skalierungen
  • Scherungen
  • Drehungen
  • Spiegelungen
  • Projektionen
  • Verschiedene Charakterisierungen linearer Abbildungen
  • Translationen (Verschiebungen)
  • Komposition (Verknüpfung) linearer Abbildungen
  • Invertieren von Matrizen
  • Invertieren von Matrizen in SymPy (Python)
  • Die Determinante als orientiertes Volumen
  • Berechnen der Determinante
  • Berechnen der Determinante in Python
  • Die Determinante als “Volumenverzerrungsfaktor” einer linearen Abbildung
  • Umstellung von Brython auf IPython/Jupyter
  • Zusammenhang Determinante und Matrixmultiplikation
  • Wie alles zusammenhängt (Matrizen, lineare Abbildungen und Gleichungssysteme, Determinanten)
  • Definition des Skalarproduktes
  • Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Matrixmultiplikation
  • Die Norm eines Vektors
  • Normieren von Vektoren
  • Der Winkel zwischen zwei Vektoren
  • Das Skalarprodukt als Länge der Projektion
  • Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt, äußeres Produkt)
  • Normalenform einer Geradengleichung
  • Die Hessesche Normalenform
  • Orthogonale Abbildungen und orthogonale Matrizen
  • Ein einfaches Kriterium für die Orthogonalität einer Matrix
  • Alle orthogonalen Abbildungen der Ebene
  • Die Determinante einer orthogonalen Matrix
  • Geometrische Bedeutung der Transposition / Singulärwertzerlegung
  • Zerlegen von Isometrien in einfachere Einzelteile
  • Homogene Koordinaten: Idee
  • Homogene Koordinaten: lineare Abbildungen und Translationen
  • Homogene Koordinaten: Beispiel in Python
  • Unterschiedliche homogene Koordinaten für denselben Punkt
  • Zentralprojektion in homogenen Koordinaten
  • Homogene Koordinaten für drei Dimensionen
  • Dreidimensionale Darstellung – Kamerakoordinaten
  • Dreidimensionale Darstellung – Parallelprojektion
  • Dreidimensionale Darstellung – Parallelprojektion in Python
  • Dreidimensionale Darstellung – Zentralprojektion
  • Dreidimensionale Darstellung – Zentralprojektion in Python
  • Abstrakte Vektorräume
  • Vektorräume über beliebigen Körpern
  • Lineare Algebra über Restklassenkörpern
  • Lineare Algebra über Restklassenkörpern in Python
  • Fehlerkorrekturverfahren – Grundidee
  • Skalarprodukte über dem endlichen Körper mit zwei Elementen
  • Das Prüfbit im ASCII-Code
  • Anwendung – Hamming-Codes
  • Aufbau des Zahlensystems / Wofür braucht man die komplexen Zahlen?
  • Die imaginäre Einheit / Addition und Multiplikation komplexer Zahlen
  • Realteil, Imaginärteil, konjugiert komplex, echt komplex, rein imaginär
  • Komplexe Zahlen in Python, Gaußsche Zahlenebene, geometrische Interpretation der komplexen Addition
  • Absolutbetrag einer komplexen Zahl
  • Division komplexer Zahlen
  • Geometrische Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen
  • Die Polardarstellung komplexer Zahlen
  • Die Wurzeln negativer Zahlen
  • Wurzeln aus echt komplexen Zahlen
  • Quadratische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten (Teil 1 von 2)
  • Quadratische Ergänzung, geometrische Vorstellung
  • Quadratische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten (Teil 2 von 2)
  • Kubische Gleichungen: Woher die komplexen Zahlen kommen
  • Wo sind eigentlich die komplexen Nullstellen?
  • Wie die reellen Zahlen “heimlich” von den komplexen Zahlen regiert werden
  • Lösen quadratischer Gleichungen mit Python (SymPy)
  • Grenzwerte von Folgen komplexer Zahlen
  • Die Mandelbrotmenge
  • Funktionen, Kurven und Flächen visualisieren in Python und Jupyter
  • Grenzwerte von Funktionen
  • Rechnen mit Grenzwerten
  • Alternative intuitive Vorstellung von Funktionsgrenzwerten
  • “Unendliche Grenzwerte” und Grenzwerte bei “unendlichen” Argumenten
  • Berechnung von Grenzwerten mit SymPy (Python)
  • Stetigkeit und der Zwischenwertsatz
  • Die elementaren Funktionen sind stetig
  • Die intuitive “physikalische” Vorstellung der Stetigkeit
  • Bisektion: numerische Lösung von Gleichungen als Anwendung des Zwischenwertsatzes
  • Einsetzen von Folgen in stetige Funktionen
  • Stetigkeit bei mehrdimensionalen und komplexen Funktionen
  • Beweis des Zwischenwertsatzes
  • Reihen – Motivation und grundlegende Begriffe
  • Mehr über Reihen
  • Die geometrische Reihe
  • Die harmonische Reihe – der Beweis von Oresme
  • Nullfolgenkriterium und einfache Rechenregeln für Reihen
  • Einige wichtige Reihen
  • Absolute Konvergenz und der Riemannsche Umordnungssatz
  • Reihen in SymPy (Python)
  • Echte Intervalle sind überabzählbar (alternativer Beweis)
  • Die Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung
  • Grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion
  • Der natürliche Logarithmus
  • Allgemeine Potenz mit reellen Exponenten, allgemeiner Logarithmus
  • Exponentialreihe und Exponentialfolge
  • Gaußsche Trapezformel (shoelace formula) und Satz von Pick zur Berechnung von Polygonflächen
  • Eine kurze Geschichte der Kreiszahl Pi
  • Die Idee des Riemann-Integrals
  • Stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar
  • Weitere Eigenschaften des Riemann-Integrals
  • Linearität des Integrierens
  • Integrale sind kontinuierliche Summen
  • Numerische Integration (Quadratur) in Python
  • Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral
  • Definition der Ableitung (also: des Differentialquotienten)
  • Beispiele für Ableitungen und die infinitesimalen Größen von Leibniz
  • Warum der Kosinus die Ableitung des Sinus ist – geometrische Begründung
  • Die Ableitung der Exponentialfunktion
  • Produktregel (Leibnizregel) und Linearität des Differenzierens
  • Ableitung des Kehrwerts (Quotientenregel)
  • Die Kettenregel
  • Ableitung der Umkehrfunktion (Umkehrregel / Inversenregel)
  • Zusammenfassung – Ableitungsregeln und wichtige Ableitungen
  • Symbolisches Differenzieren (Ableiten) mit Python und SymPy
  • Die Bolzano-Funktion: differenzierbare Funktionen sind stetig, stetige nicht immer differenzierbar
  • Die Ableitung als momentane Änderungsrate
  • Differenzierbarkeit als lineare Approximierbarkeit
  • Die Ableitung unter dem Mikroskop
  • Der Satz von Bolzano-Weierstraß
  • Der Satz vom Minimum und Maximum
  • Der Satz von Rolle und lokale Extrema
  • Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
  • Fundamentalsatz der Analysis / Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  • Symbolisches Integrieren mit Python und SymPy
  • Uneigentliche Integrale / Euler-Mascheroni-Konstante
  • Beispiele für “spezielle” Funktionen: Fehlerfunktion, Integrallogarithmus, Integralsinus
  • Grundlegende Eigenschaften von Polynomen
  • Das Horner-Schema
  • Das Horner-Schema geometrisch (Lills Methode)
  • Nullstellen von Polynomen / Fundamentalsatz der Algebra
  • Polynominterpolation (Lagrange-Interpolation)
  • Runges Phänomen
  • Splines
  • Sind Ableitungsfunktionen differenzierbar oder zumindest stetig?
  • Bedeutung der ersten beiden Ableitungen
  • Taylorpolynome
  • Restglied des Taylorpolynoms – Beispiel
  • Potenzreihen, Konvergenzradius
  • Taylorreihen, analytische Funktionen
  • Beliebig viele Nachkommastellen von Pi berechnen
  • Eulers Trick / Alternative Darstellung für Pi
  • Eulersche Formel, die Exponentialfunktion im Komplexen
  • Die eulersche Identität, die schönste Formel der Welt
  • Die Grundidee der Fourier-Analysis
  • Geometrische Intuition hinter der Fourier-Analysis (Orthogonalprojektion)
  • Fourierpolynome
  • Gibbs’sche Überschwinger (Gibbs’sches Phänomen)
  • Punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz, Konvergenz im quadratischen Mittel
  • Konvergenz von Fourierreihen
  • Fourierpolynome für Funktionen mit anderen Perioden
  • Trigonometrische Polynome / Fourier-Analysis im Komplexen
  • Komplexe Einheitswurzeln
  • Diskrete Fouriertransformation (DFT) / Abtasttheorem (Shannon, Nyquist, Kotelnikow)
  • Schnelle Fouriertransformation (FFT)
  • Spaß mit Fourier (Epizyklen)
  • Schnelle Multiplikation von Polynomen mit FFT
  • Grundidee des Schönhage-Strassen-Algorithmus (schnelle Multiplikation großer Zahlen)
  • Was ist eine (gewöhnliche) Differentialgleichung?
  • Differentialgleichungen: Grundbegriffe und noch ein Beispiel
  • Differentialgleichungen: Existenz von Lösungen (Satz von Peano) und Richtungsfelder
  • Differentialgleichungen: Eindeutigkeit von Lösungen (Picard-Lindelöf) und Lipschitz-Stetigkeit
  • Symbolisches (analytisches) Lösen von Differentialgleichungen mit Computeralgebrasystemen
  • Numerisches Lösen von Differentialgleichungen: Eulerverfahren, Heun-Verfahren, Runge-Kutta
  • Polynome über endlichen Körpern
  • Welche Polynome Computer am liebsten mögen (Algebra mit Polynomen)
  • Anwendung: Zyklische Redundanzprüfung (CRC, Cyclic Redundancy Check)
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  • Die hypergeometrische Verteilung
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  • Faltung / Summen von Zufallsvariablen
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  • Die Dichte einer stetigen Verteilung
  • Erwartungswert und Varianz von stetigen Verteilungen
  • Der Zentrale Grenzwertsatz und die Normalverteilung
  • Wie man “zufällig” auf eine berühmte Zahl kommt
  • Die Faustregel für die Normalverteilung
  • Gesetz der großen Zahlen / Theorem von Bernoulli / Fundamentalsatz der Statistik
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