A Demonstration of the Hobby Algorithm
Interpolation durch natürliche kubische Splines
Der Hobby-Algorithmus für “schöne” Kurven
Mathematik (SoSe 2014 und WiSe 2014/2015)
- Wozu braucht man eigentlich die Mathematik?
- Organisatorisches (zur Mathe-Vorlesung, SoSe 2014)
- Die natürlichen Zahlen
- Die zwei Grundrechenarten
- Distributivität
- Buchstaben (Fachsprache der Mathematik)
- Die Zahl Null
- Gleichheit
- Die ganzen Zahlen
- Subtraktion
- Multiplikation von ganzen Zahlen
- Die Anordnung der reellen Zahlen
- Die rationalen Zahlen
- Division
- Die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden
- Potenzen und Logarithmen
- Dezimalbrüche
- Irrationale Zahlen: “Zahlen”, die keine Brüche sind
- Die Quadratwurzel aus zwei ist keine rationale Zahl
- Die reellen Zahlen
- Approximation bestimmter reeller Größen / babylonisches Wurzelziehen
- Rechnen mit reellen Zahlen
- Wurzeln und rationale Exponenten
- Irrationale Exponenten
- Beliebige Logarithmen
- Ist Pi normal?
- Intuitionismus
- Der Begriff der Menge
- Gleichheit von Mengen
- Teilmengen
- Vereinigung und Durchschnitt von Mengen
- Mengentheoretische Differenz
- Die Potenzmenge
- Mächtigkeit der Potenzmenge
- Erste Einführung in das Computeralgebrasystem Maple
- Mengenlehre in Maple
- Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen
- Beschreibende Mengenschreibweise
- Anwendung der beschreibenden Mengenschreibweise auf die Mengenoperatoren
- Eine Variation der beschreibenden Mengenschreibweise
- Weitere Varianten der beschreibenden Mengenschreibweise
- Etwas Aussagenlogik
- Implikationen (Logik) und das Quiz mit den Spielkarten
- Umkehrung von Implikationen (Kontraposition)
- Etwas Prädikatenlogik (Teil 1 von 2)
- Etwas Prädikatenlogik (Teil 2 von 2)
- Intervalle (Teil 1 von 3)
- Intervalle (Teil 2 von 3)
- Intervalle (Teil 3 von 3)
- Betrag und Gaußklammern
- Relationen, Motivation
- Geordnete Paare und kartesisches Produkt (Mengenprodukt)
- Kartesisches Produkt (Mengenprodukt) in Maple
- Tupel, kartesische Produkte von mehr als zwei Mengen
- Relationen, Definition
- Relationen, Beispiele
- Reflexivität von Relationen
- Reflexivität von Relationen, Beispiele
- Die Umkehrrelation
- Symmetrie von Relationen
- Komposition von Relationen (Teil 1 von 2)
- Komposition von Relationen (Teil 2 von 2)
- Transitivität von Relationen
- Äquivalenzrelationen (Teil 1 von 2)
- Beispiele für reflexiv, symmetrisch, transitiv (Teil 1 von 2)
- Beispiele für reflexiv, symmetrisch, transitiv (Teil 2 von 2)
- Äquivalenzrelationen (Teil 2 von 2)
- Äquivalenzklassen und Faktormengen bzw. Quotientenmengen
- Äquivalenzklassen und Faktormengen bzw. Quotientenmengen, Beispiele
- Eine wichtige Äquivalenzrelation
- Noch ein Beispiel
- Relationen in Maple
- Funktionen
- Definitionsbereich
- Zielbereich einer Funktion und Funktionsschreibweise
- Injektivität / injektive Funktionen
- Wertebereich und Surjektivität
- Bijektionen zwischen endlichen Mengen
- Komposition von Funktionen (Teil 1 von 2)
- Komposition von Funktionen (Teil 2 von 2)
- Komposition von Funktionen in Maple
- Umkehrfunktion
- Bild und Urbild
- Größenvergleich von unendlichen Mengen
- Hilberts Hotel (unendliche Mengen)
- Größenvergleich von Intervallen
- Cantors erstes Diagonalargument – die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar
- Cantors zweites Diagonalargument – die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar
- Der Satz von Cantor
- Das Summenzeichen
- Das Summenzeichen – Rechentechniken
- Das Produktzeichen
- Die Gaußsche Summenformel
- Die geometrische Summenformel
- Die Fakultät
- Endliche Summen in Maple
- Das Inklusions-Exklusions-Prinzip
- Die Produktregel
- Permutationen (Kombinatorik)
- Kombinationen und Binomialkoeffizienten (Kombinatorik)
- Kombinationen mit Wiederholungen (Kombinatorik)
- Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck
- Variationen (Kombinatorik)
- Berühmte Probleme der Zahlentheorie
- Division mit Rest
- Teilbarkeit
- Rechenregeln zur Teilbarkeit
- Kommensurabilität – der euklidische Algorithmus grafisch
- Der euklidische Algorithmus
- Der erweiterte euklidische Algorithmus
- Warum Hippasos ertränkt wurde (irrationale Zahlen / goldener Schnitt)
- Primzahlen
- Der Fundamentalsatz der Arithmetik
- Primzahlen in Maple
- Der Satz von Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen
- Das Sieb des Eratosthenes und die Ulam-Spirale
- Modulare Arithmetik
- Kongruenzklassen (modulare Arithmetik)
- Rechnen mit Kongruenzklassen (modulare Arithmetik)
- Rechnen mit Kongruenzklassen (modulare Arithmetik) – Beispiel
- ‘Probleme’ beim Rechnen in Restklassenringen (Teil 1 von 2)
- ‘Probleme’ beim Rechnen in Restklassenringen (Teil 2 von 2)
- Zwei Anwendungen der modularen Arithmetik: Kartentrick und Quersumme
- Dividieren in Restklassenringen (Teil 1 von 2)
- Dividieren in Restklassenringen (Teil 2 von 2)
- Modulare Arithmetik in Maple
- Anwendung: Prüfziffern in 10-stelligen ISBN
- Der kleine Satz von Fermat
- Anwendung – Fermatscher Primzahlentest
- Motivation binäre Exponentiation (Square-and-Multiply)
- Binäre Exponentiation (Square-and-Multiply)
- Anwendung – Primzahltests (Miller-Rabin-Test)
- Anwendung – Kryptographie
- Anwendung – der RSA-Algorithmus (Teil 1 von 2)
- Anwendung – der RSA-Algorithmus (Teil 2 von 2)
- Der chinesische Restsatz
- Chinesischer Restsatz – Aufgabe und Tipps
- Beispiele für Gruppen (Teil 1 von 3)
- Beispiele für Gruppen (Teil 2 von 3)
- Beispiele für Gruppen (Teil 3 von 3)
- Definition des Begriffs Gruppe
- Gruppen – weitere Beispiele
- Einfache Eigenschaften von Gruppen
- Untergruppen
- Isomorphie von Gruppen
- Permutationsgruppen
- Beispiele für Permutationsgruppen
- Zyklen (Permutationen)
- Verschiedene Darstellungsweisen für Permutationen
- Zerlegung in Zyklen – Beispiel
- Permutationen in Maple
- Transpositionen
- Fehlstände
- Amida-kuji
- Der Satz von Cayley (Gruppentheorie)
- Komplexe Zahlen – Motivation
- Komplexe Zahlen – Definition
- ‘Wurzeln’ aus negativen Zahlen
- Komplexe Zahlen – Grundbegriffe
- Eigenschaften der komplexen Konjugation
- Division komplexer Zahlen
- Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen
- Wiederholung Trigonometrie (Teil 1 von 2)
- Wiederholung Trigonometrie (Teil 2 von 2)
- Polarkoordinaten
- Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten
- Polardarstellung komplexer Zahlen
- ‘Wurzeln’ von echt komplexen Zahlen
- Warum Minus mal Minus Plus sein muss
- Quadratische, kubische und quartische Gleichungen
- Lösen von quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung
- Wo sind denn die komplexen Nullstellen?
- Komplexe Zahlen in Maple
- Die Mandelbrotmenge
- Polynome – Grundbegriffe
- Addieren und Multiplizieren von Polynomen
- Entwicklung von Polynomen
- Polynominterpolation (Lagrange-Interpolation)
- Runges Phänomen
- Bézierkurven
- Warum überhaupt Nullstellen?
- Polynomdivision
- Das Lemma von Gauß / Satz über rationale Nullstellen (Klausurversion)
- Das Horner-Schema
- Lösen von Polynomgleichungen
- Fundamentalsatz der Algebra und Nichtauflösbarkeit von Gleichungen höheren Grades
- Was ist ein Körper?
- Polynome über beliebigen Körpern
- Polynome über Restklassenkörpern und Restklassenringen
- Polynome über Restklassenkörpern in Maple
- Polynome über dem kleinsten Restklassenkörper
- Anwendung – Zyklische Redundanzprüfung (CRC), Teil 1 von 4
- Anwendung – Zyklische Redundanzprüfung (CRC), Teil 2 von 4
- Anwendung – Zyklische Redundanzprüfung (CRC), Teil 3 von 4
- Anwendung – Zyklische Redundanzprüfung (CRC), Teil 4 von 4
- Die Grundidee der analytischen Geometrie
- Vektoraddition und skalare Multiplikation
- Geraden
- Der Winkel zwischen zwei Vektoren
- Die Hessesche Normalenform
- Die Länge der orthogonalen Projektion
- Abbildungen der Ebene auf sich selbst
- Lineare Abbildungen
- Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
- Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen, Beispiele
- Multiplikation von Matrizen
- Rechnen mit Matrizen (Teil 1 von 2)
- Rechnen mit Matrizen (Teil 2 von 2)
- Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen
- Vektoren und Matrizen in Maple
- Anwendung: YCbCr-Farbmodell
- Lineare Gleichungssysteme
- Lineare Gleichungssysteme und lineare Abbildungen
- Der Gauß-Algorithmus – elementare Zeilenumformungen
- Der Gauß-Algorithmus – Beispiele
- Der Gauß-Algorithmus in Maple
- Der Gauß-Algorithmus – ein paar Hinweise
- Invertieren einer Matrix
- Determinanten – Motivation
- Das Laplace-Verfahren zum Berechnen von Determinanten
- Eigenschaften von Determinanten
- Berechnung von Determinanten mit dem Gauß-Verfahren
- Geometrische Interpretation der Determinante
- Lineare Algebra über beliebigen Körpern
- Modulare lineare Algebra in Maple
- Anwendung – das Parity-Bit im ASCII-Code
- Anwendung – Hamming-Codes
- Was sind Isometrien?
- Orthogonale Abbildungen
- Orthogonale Abbildungen in der Ebene
- Zerlegung von Isometrien
- Anwendung – homogene Koordinaten
- Cataglyphis
- Babylonisches Wurzelziehen
- Was bedeutet “fast alle”?
- Konvergenz von Folgen
- Grenzwerte
- Wichtige Folgen
- Folgen in Maple
- Das Vergleichskriterium für Folgen
- Rechenregeln für Folgen
- Grenzwerte von rationalen Folgen
- Noch mehr Folgengrenzwerte
- Landau-Notation – Motivation
- Landau-Notation – Definition
- Landau-Notation – Rechenregeln
- Landau-Notation – Beispiele (Teil 1 von 2)
- Landau-Notation – Beispiele (Teil 2 von 2)
- Landau-Notation – Motivation, noch mal
- Der Karazuba-Algorithmus
- Reihen – Motivation
- Reihen – Definitionen und Grundbegriffe
- Die harmonische Reihe konvergiert nicht
- Die geometrische Reihe konvergiert
- Die Exponentialreihe
- Das Nullfolgenkriterium
- Rechenregeln für Reihen
- Absolute Konvergenz
- Wurzelkriterium und Quotientenkriterium
- Wurzelkriterium und Quotientenkriterium, Beispiele
- Die Exponentialreihe, noch mal
Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker
- Python: Variablen
- Python: bedingte Anweisungen
- Python: Schleifen (Iteration)
- Python: Funktionen
- Natürliche und ganze Zahlen
- Die Fakultät in Python und in C
- Stellenwertsysteme – Dezimal- und Binärdarstellung
- Rechnen im Binärsystem
- “Russische Bauernmultiplikation”
- Binärdarstellung in Python
- Listen in Python
- Konvertierung von binär nach dezimal in Python
- Rechnen mit einer festen Anzahl von Stellen
- Multiplikation und Division als Verschiebung
- Kongruenz bzgl. eines Moduls
- Kongruenz bzgl. eines Moduls in Python
- Modulo – Schreibweise
- Modulare Arithmetik
- Restklassenringe
- Anwendung – Teilbarkeit durch neun und drei (Quersumme)
- Anwendung – Probe bei der Multiplikation
- Langzahlarithmetik (engl. bignum bzw. arbitrary-precision arithmetic)
- Negative Zahlen, Subtraktion, inverse Elemente
- Teilbarkeit und negative Zahlen
- Modulare Arithmetik mit negativen Zahlen
- Zweierkomplement
- Der euklidische Algorithmus
- Der euklidische Algorithmus in Python
- Der euklidische Algorithmus geometrisch
- Der erweiterte euklidische Algorithmus
- Python – Iterieren durch Listen und Destrukturieren
- Bibliotheken (Module) in Python
- Ein Restklassenring, in dem man nicht dividieren kann
- Ein Restklassenring, in dem man dividieren kann (ein endlicher Körper)
- Dividieren in endlichen Körpern
- Anwendung: Prüfziffern in 10-stelligen ISBN
- ISBN in Python
- Der chinesische Restsatz
- Der chinesische Restsatz in Python
- Primzahlen
- Ein naiver Primzahltest in Python
- Warum der naive Primzahltest nicht gut genug ist
- Der Fundamentalsatz der Arithmetik
- Das Sieb des Eratosthenes
- Das Sieb des Eratosthenes in Python
- Der Satz von Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen
- Der Primzahlsatz
- Die Ulam-Spirale
- Primzahlzwillinge
- Der kleine Satz von Fermat
- Fermatsche Primzahltests
- Carmichael-Zahlen
- Der Miller-Rabin-Test
- Der Miller-Rabin-Test in Python
- Das RSA-Kryptosystem
- Seltsame Computer-Arithmetik
- Natürliche, ganze und rationale Zahlen
- Brüche in Python
- Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen
- Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche
- Die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden
- Festkommadarstellung
- Festkommadarstellung in Python
- Fließkommadarstellung
- Fließkommadarstellung in Python
- Verteilung der Fließkommazahlen
- Fließkommaarithmetik, typische Probleme
- Binärzahlen mit Nachkommastellen
- Umrechnung dezimal in binär mit Nachkommastellen
- Umrechnung dezimal in binär mit Nachkommastellen in Python
- Indizes für Listen in Python
- Umrechnung dezimal in binär mit Nachkommastellen und Perioden in Python
- Das Format IEEE 754 (Teil 1 von 4)
- Das Format IEEE 754 (Teil 2 von 4, Beispiele)
- Das Format IEEE 754 (Teil 3 von 4, dezimale Ausgabe)
- Typische Fehler beim Umgang mit Fließkommazahlen
- Das Format IEEE 754 (Teil 4 von 4, spezielle Werte)
- Mathematisches Runden (Wissenschaftliches Runden)
- Irrationale Zahlen, z.B. die Wurzel aus zwei
- Der goldene Schnitt ist irrational
- Babylonisches Wurzelziehen / Verfahren von Heron
- Der Begriff der Menge
- Mengen, Elemente und Teilmengen in Python
- Verknüpfungen von Mengen
- Arbeiten mit Mengen in Python
- “Große” Mengen
- Beschreibende Mengenschreibweise (Teil 1 von 3)
- Beschreibende Mengenschreibweise (Teil 2 von 3)
- Beschreibende Mengenschreibweise (Teil 3 von 3)
- Dedekindsche Schnitte: Wie man die reellen Zahlen konstruiert
- Gefrorene Mengen und Tupel (frozen sets in Python)
- Das Mengenprodukt (kartesisches Produkt), Teil 1 von 2
- Das Mengenprodukt (kartesisches Produkt), Teil 2 von 2
- Das Inklusions-Exklusions-Prinzip
- Endliche Summen
- Die Gaußsche Summenformel
- Manipulation von endlichen Summen
- Indexverschiebung
- Die geometrische Summenformel
- Endliche Produkte
- Permutationen (Kombinatorik)
- Permutationen in Python / Rekursion
- Permutationen mit Wiederholungen (Kombinatorik)
- Variationen (Kombinatorik)
- Variationen mit Wiederholungen (Kombinatorik)
- Kombinationen (Kombinatorik)
- Binomialkoeffizienten
- Das Pascalsche Dreieck
- Der binomische Lehrsatz / die binomische Formel
- Die Potenzmenge und ihre Mächtigkeit
- Darstellung von Mengen als Binärzahlen
- Kombinationen mit Wiederholungen (Teil 1 von 2)
- Kombinationen mit Wiederholungen (Teil 2 von 2)
- Gaußsche Summenformel, kombinatorischer Beweis
- Kombinationen mit Wiederholungen in Python
- Noch ein kombinatorisches Beispiel
- Aufteilung eines Kreises in Gebiete
- Generatoren in Python (für unendliche Mengen)
- Rekursiv aufzählbare Mengen
- Rekursiv aufzählbare Mengen, weitere Beispiele
- Cantors erstes Diagonalargument – die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar
- Cantors Aufzählung der rationalen Zahlen in Python
- Der Calkin-Wilf-Baum (als Aufzählung der rationalen Zahlen)
- Was sind Intervalle?
- Anonyme Funktionen (Lambda-Funktionen) in Python
- Die Menge der berechenbaren Zahlen ist nicht rekursiv aufzählbar
- Was sind Funktionen?
- Funktionen als Mengen von Paaren in Python
- Was sind injektive Funktionen? (Injektivität)
- Abbildungsvorschrift der Umkehrfunktion
- Was sind surjektive und bijektive Funktionen? (Surjektivität und Bijektivität)
- Komposition von Funktionen / Verknüpfung von Funktionen
- Mehrstellige Funktionen
- Abzählbare Mengen
- Überabzählbare Mengen
- Was sind Folgen?
- Konvergente Folgen
- Grenzwerte
- Einige wichtige Folgen (Teil 1 von 2)
- Einige wichtige Folgen (Teil 2 von 2)
- Rechenregeln für Folgengrenzwerte
- Rechenregeln für Folgengrenzwerte, Beispiele
- Grenzwerte von Quotienten von Polynomen
- Bestimmte Divergenz
- Ein numerisches Beispiel in Python (Folgenkonvergenz)
- Die Bernoullische Ungleichung
- Das Majorantenkriterium
- Warum die geometrische Folge eine Nullfolge ist
- Warum die n-te Wurzel gegen eins konvergiert
- Folgen mit Polynomen und Exponentialfunktionen
- Die Exponentialfolge
- Computeralgebra
- SymPy – ein Computeralgebrasystem für Python
- Folgen in SymPy (Python)
- Summen in SymPy (Python)
- Vergleich zweier Algorithmen zur Berechnung von Polynomwerten (Zeitkomplexität)
- Vergleich zweier Algorithmen zur Berechnung der arithmetischen Summe (Zeitkomplexität)
- Vergleich zweier Algorithmen zur Berechnung der geometrischen Summe (Zeitkomplexität)
- Ein vereinfachtes Rechnermodell
- Anwendung des Rechnermodells
- Korrektur
- Beschränkte Mengen bzw. Folgen
- Die Groß-O-Notation (Zeitkomplexität)
- Der Landau-Kalkül
- Typische Beispiele für Laufzeitverhalten
- Anwendung des Landau-Kalküls
- Überblick Elementargeometrie: Winkel, Satz des Pythagoras, Sinus, Kosinus, etc.
- Die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens)
- Analytische Geometrie
- Abstand zweier Punkte
- Polarkoordinaten
- atan2 – der “bessere Arkustangens”
- Kugel- und Zylinderkoordinaten
- Darstellung eines Kreises als Menge von Punkten / Parameterdarstellung
- Vektoren als geometrische Objekte
- Vektoren im Koordinatensystem
- Vektoroperationen in Python
- Distributivität von Vektoraddition und Skalarmultiplikation
- Punkte versus Vektoren
- Die Punkt-Richtungs-Form von Geraden
- Schnitt zweier Geraden
- Punkt-Richtungs-Formen im Raum
- Matrizen
- Matrizen in Python
- Multiplikation von Matrizen
- Multiplikation von Matrizen mit Vektoren
- Transponieren von Matrizen
- Matrizen und Vektoren in SymPy (Python)
- Lineare Gleichungssysteme
- Das Gauß-Verfahren – elementare Zeilenumformungen
- Das Gauß-Verfahren – Zeilenstufenform
- Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen
- Das Gauß-Verfahren in Python
- Das Gauß-Jordan-Verfahren
- Elementare Zeilenumformungen als Matrixmultiplikationen
- Lineare Gleichungssysteme in SymPy (Python)
- Simple Computergrafik mit Brython
- Zeichnen eines Kreises
- Lineare Abbildungen als Werkzeuge zum Wechsel zwischen Koordinatensystemen
- Lineare Abbildungen als Werkzeuge zum Wechsel zwischen Koordinatensystemen in Brython
- Lineare Abbildungen als durch Matrizen definierte Funktionen
- Geometrische Eigenschaften von linearen Abbildungen
- Geometrische Eigenschaften von linearen Abbildungen in Brython
- Skalierungen
- Scherungen
- Drehungen
- Spiegelungen
- Projektionen
- Verschiedene Charakterisierungen linearer Abbildungen
- Translationen (Verschiebungen)
- Komposition (Verknüpfung) linearer Abbildungen
- Invertieren von Matrizen
- Invertieren von Matrizen in SymPy (Python)
- Die Determinante als orientiertes Volumen
- Berechnen der Determinante
- Berechnen der Determinante in Python
- Die Determinante als “Volumenverzerrungsfaktor” einer linearen Abbildung
- Umstellung von Brython auf IPython/Jupyter
- Zusammenhang Determinante und Matrixmultiplikation
- Wie alles zusammenhängt (Matrizen, lineare Abbildungen und Gleichungssysteme, Determinanten)
- Definition des Skalarproduktes
- Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Matrixmultiplikation
- Die Norm eines Vektors
- Normieren von Vektoren
- Der Winkel zwischen zwei Vektoren
- Das Skalarprodukt als Länge der Projektion
- Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt, äußeres Produkt)
- Normalenform einer Geradengleichung
- Die Hessesche Normalenform
- Orthogonale Abbildungen und orthogonale Matrizen
- Ein einfaches Kriterium für die Orthogonalität einer Matrix
- Alle orthogonalen Abbildungen der Ebene
- Die Determinante einer orthogonalen Matrix
- Geometrische Bedeutung der Transposition / Singulärwertzerlegung
- Zerlegen von Isometrien in einfachere Einzelteile
- Homogene Koordinaten: Idee
- Homogene Koordinaten: lineare Abbildungen und Translationen
- Homogene Koordinaten: Beispiel in Python
- Unterschiedliche homogene Koordinaten für denselben Punkt
- Zentralprojektion in homogenen Koordinaten
- Homogene Koordinaten für drei Dimensionen
- Dreidimensionale Darstellung – Kamerakoordinaten
- Dreidimensionale Darstellung – Parallelprojektion
- Dreidimensionale Darstellung – Parallelprojektion in Python
- Dreidimensionale Darstellung – Zentralprojektion
- Dreidimensionale Darstellung – Zentralprojektion in Python
- Abstrakte Vektorräume
- Vektorräume über beliebigen Körpern
- Lineare Algebra über Restklassenkörpern
- Lineare Algebra über Restklassenkörpern in Python
- Fehlerkorrekturverfahren – Grundidee
- Skalarprodukte über dem endlichen Körper mit zwei Elementen
- Das Prüfbit im ASCII-Code
- Anwendung – Hamming-Codes
- Aufbau des Zahlensystems / Wofür braucht man die komplexen Zahlen?
- Die imaginäre Einheit / Addition und Multiplikation komplexer Zahlen
- Realteil, Imaginärteil, konjugiert komplex, echt komplex, rein imaginär
- Komplexe Zahlen in Python, Gaußsche Zahlenebene, geometrische Interpretation der komplexen Addition
- Absolutbetrag einer komplexen Zahl
- Division komplexer Zahlen
- Geometrische Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen
- Die Polardarstellung komplexer Zahlen
- Die Wurzeln negativer Zahlen
- Wurzeln aus echt komplexen Zahlen
- Quadratische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten (Teil 1 von 2)
- Quadratische Ergänzung, geometrische Vorstellung
- Quadratische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten (Teil 2 von 2)
- Kubische Gleichungen: Woher die komplexen Zahlen kommen
- Wo sind eigentlich die komplexen Nullstellen?
- Wie die reellen Zahlen “heimlich” von den komplexen Zahlen regiert werden
- Lösen quadratischer Gleichungen mit Python (SymPy)
- Grenzwerte von Folgen komplexer Zahlen
- Die Mandelbrotmenge
- Funktionen, Kurven und Flächen visualisieren in Python und Jupyter
- Grenzwerte von Funktionen
- Rechnen mit Grenzwerten
- Alternative intuitive Vorstellung von Funktionsgrenzwerten
- “Unendliche Grenzwerte” und Grenzwerte bei “unendlichen” Argumenten
- Berechnung von Grenzwerten mit SymPy (Python)
- Stetigkeit und der Zwischenwertsatz
- Die elementaren Funktionen sind stetig
- Die intuitive “physikalische” Vorstellung der Stetigkeit
- Bisektion: numerische Lösung von Gleichungen als Anwendung des Zwischenwertsatzes
- Einsetzen von Folgen in stetige Funktionen
- Stetigkeit bei mehrdimensionalen und komplexen Funktionen
- Beweis des Zwischenwertsatzes
- Reihen – Motivation und grundlegende Begriffe
- Mehr über Reihen
- Die geometrische Reihe
- Die harmonische Reihe – der Beweis von Oresme
- Nullfolgenkriterium und einfache Rechenregeln für Reihen
- Einige wichtige Reihen
- Absolute Konvergenz und der Riemannsche Umordnungssatz
- Reihen in SymPy (Python)
- Echte Intervalle sind überabzählbar (alternativer Beweis)
- Die Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung
- Grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Der natürliche Logarithmus
- Allgemeine Potenz mit reellen Exponenten, allgemeiner Logarithmus
- Exponentialreihe und Exponentialfolge
- Gaußsche Trapezformel (shoelace formula) und Satz von Pick zur Berechnung von Polygonflächen
- Eine kurze Geschichte der Kreiszahl Pi
- Die Idee des Riemann-Integrals
- Stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar
- Weitere Eigenschaften des Riemann-Integrals
- Linearität des Integrierens
- Integrale sind kontinuierliche Summen
- Numerische Integration (Quadratur) in Python
- Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral
- Definition der Ableitung (also: des Differentialquotienten)
- Beispiele für Ableitungen und die infinitesimalen Größen von Leibniz
- Warum der Kosinus die Ableitung des Sinus ist – geometrische Begründung
- Die Ableitung der Exponentialfunktion
- Produktregel (Leibnizregel) und Linearität des Differenzierens
- Ableitung des Kehrwerts (Quotientenregel)
- Die Kettenregel
- Ableitung der Umkehrfunktion (Umkehrregel / Inversenregel)
- Zusammenfassung – Ableitungsregeln und wichtige Ableitungen
- Symbolisches Differenzieren (Ableiten) mit Python und SymPy
- Die Bolzano-Funktion: differenzierbare Funktionen sind stetig, stetige nicht immer differenzierbar
- Die Ableitung als momentane Änderungsrate
- Differenzierbarkeit als lineare Approximierbarkeit
- Die Ableitung unter dem Mikroskop
- Der Satz von Bolzano-Weierstraß
- Der Satz vom Minimum und Maximum
- Der Satz von Rolle und lokale Extrema
- Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Fundamentalsatz der Analysis / Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Symbolisches Integrieren mit Python und SymPy
- Uneigentliche Integrale / Euler-Mascheroni-Konstante
- Beispiele für “spezielle” Funktionen: Fehlerfunktion, Integrallogarithmus, Integralsinus
- Grundlegende Eigenschaften von Polynomen
- Das Horner-Schema
- Das Horner-Schema geometrisch (Lills Methode)
- Nullstellen von Polynomen / Fundamentalsatz der Algebra
- Polynominterpolation (Lagrange-Interpolation)
- Runges Phänomen
- Splines
- Sind Ableitungsfunktionen differenzierbar oder zumindest stetig?
- Bedeutung der ersten beiden Ableitungen
- Taylorpolynome
- Restglied des Taylorpolynoms – Beispiel
- Potenzreihen, Konvergenzradius
- Taylorreihen, analytische Funktionen
- Beliebig viele Nachkommastellen von Pi berechnen
- Eulers Trick / Alternative Darstellung für Pi
- Eulersche Formel, die Exponentialfunktion im Komplexen
- Die eulersche Identität, die schönste Formel der Welt
- Die Grundidee der Fourier-Analysis
- Geometrische Intuition hinter der Fourier-Analysis (Orthogonalprojektion)
- Fourierpolynome
- Gibbs’sche Überschwinger (Gibbs’sches Phänomen)
- Punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz, Konvergenz im quadratischen Mittel
- Konvergenz von Fourierreihen
- Fourierpolynome für Funktionen mit anderen Perioden
- Trigonometrische Polynome / Fourier-Analysis im Komplexen
- Komplexe Einheitswurzeln
- Diskrete Fouriertransformation (DFT) / Abtasttheorem (Shannon, Nyquist, Kotelnikow)
- Schnelle Fouriertransformation (FFT)
- Spaß mit Fourier (Epizyklen)
- Schnelle Multiplikation von Polynomen mit FFT
- Grundidee des Schönhage-Strassen-Algorithmus (schnelle Multiplikation großer Zahlen)
- Was ist eine (gewöhnliche) Differentialgleichung?
- Differentialgleichungen: Grundbegriffe und noch ein Beispiel
- Differentialgleichungen: Existenz von Lösungen (Satz von Peano) und Richtungsfelder
- Differentialgleichungen: Eindeutigkeit von Lösungen (Picard-Lindelöf) und Lipschitz-Stetigkeit
- Symbolisches (analytisches) Lösen von Differentialgleichungen mit Computeralgebrasystemen
- Numerisches Lösen von Differentialgleichungen: Eulerverfahren, Heun-Verfahren, Runge-Kutta
- Polynome über endlichen Körpern
- Welche Polynome Computer am liebsten mögen (Algebra mit Polynomen)
- Anwendung: Zyklische Redundanzprüfung (CRC, Cyclic Redundancy Check)
- Fehlerkorrektur mit Reed-Solomon-Codes (CD, DVD, Blu-ray, DSL, DVB, RAID, QR-Codes, etc.)
- Was sind Galoiskörper?
- Wahrscheinlichkeitsrechnung – Ergebnisse und Ereignisse
- Sigma-Algebren
- Die Kolmogorow-Axiome – Wahrscheinlichkeitsräume und Wahrscheinlichkeitsmaße
- Beispiele für Wahrscheinlichkeitsräume: Laplace-Experimente
- Lösung der letzten Stundenübung (rote und blaue Kugeln)
- Einfache Folgerungen aus den Kolmogorow-Axiomen
- Elementares Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
- Weitere Beispiele für Wahrscheinlichkeitsräume
- Das Bertrand-Paradoxon
- Kombinatorik von Laplace-Experimenten in Python
- Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Formel von Bayes / Gesetz der der totalen Wahrscheinlichkeit
- Unabhängige Ereignisse (Stochastik)
- Paradoxon vom Falsch-Positiven (bedingte Wahrscheinlichkeiten)
- Anwendung: Probabilistischer Dateivergleich (Teil 1 von 2)
- Anwendung: Probabilistischer Dateivergleich (Teil 2 von 2)
- Was sind Zufallsvariablen (Zufallsgrößen)?
- Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen
- Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
- Diskrete Zufallsvariablen
- Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable
- Rechnen mit Erwartungswerten
- Das Problem der 100 Gefangenen oder: Eine unmögliche Wette (?)
- Varianz und Standardabweichung von diskreten Zufallsvariablen
- Diskrete Verteilungen – Bernoulli-Verteilung
- Die Binomialverteilung
- Die hypergeometrische Verteilung
- Die geometrische Verteilung
- Die Poisson-Verteilung
- Faltung / Summen von Zufallsvariablen
- Stetige Verteilungen – Exponentialverteilung
- Die Dichte einer stetigen Verteilung
- Erwartungswert und Varianz von stetigen Verteilungen
- Der Zentrale Grenzwertsatz und die Normalverteilung
- Wie man “zufällig” auf eine berühmte Zahl kommt
- Die Faustregel für die Normalverteilung
- Gesetz der großen Zahlen / Theorem von Bernoulli / Fundamentalsatz der Statistik
- Schließende Statistik / Punktschätzer
- Intervallschätzer
- Statistische Tests und der p-Wert
- Wichtige statistische Tests (plus Kochrezept)
- Vorsicht vor p-Werten!
- Grundbegriffe der Informationstheorie (Entropie und Quellencodierungstheorem)
- Huffman-Codes (Entropiecodierung)
- Arithmetische Codierung